解法暗記か理解か、受験数学の正解は「暗記→理解→暗記」｜3段階の勉強法と参考書

「解法は暗記するべきか、理解するべきか」。受験数学ではこの論争がずっと繰り返されてきました。「暗記数学」という言葉を聞いたことがある人も多いはずです。

先に結論を言うと、どちらか一方が正解ということはありません。受験数学は「暗記→理解→暗記」の3段階で進めるもので、暗記と理解はそれぞれ別の段階で使う道具です。問題は順番を飛ばすことにあります。

この記事でわかること

暗記派と理解派の言い分と、それぞれの弱点
受験数学の3段階と、段階ごとに使う参考書
段階を飛ばすと数学ができないまま本番を迎える理由
今の自分がどの段階にいるかの見分け方

暗記派と理解派の言い分

暗記派の主張はシンプルです。入試は時間との勝負で、典型的な問題に毎回ゼロから解法を考えていては間に合いません。網羅系参考書で「この形の問題にはこの解法」というパターンを大量にストックしておき、本番では反射的に手を動かす。これが暗記数学の考え方です。

一方で理解派は、パターンの丸暗記には限界があると考えます。難関大の入試では見たことのない設定の問題や、複数の分野を組み合わせる問題が出ます。こうした初見の問題に対応できるのは「なぜその解法が使えるのか」を理解している人だけだ、という主張です。

	暗記派	理解派
強い場面	典型問題を速く正確に解く。共通テストや中堅大の入試	初見の設定や融合問題。難関大の入試
弱点	形が少し変わると手が止まる。条件の確認が抜ける	時間がかかり全範囲を終えられない。解く速さが足りない
陥りがちな失敗	何周しても偏差値が上がらない	基礎の型がないまま考え込んで空回りする

暗記か理解かは二元論ではない

数学では難関大になればなるほど、暗記した解法をそのまま当てはめられる問題は減っていきます。初見の設定に合わせて解法を組み替える必要があるからです。理解なき暗記を何周繰り返しても、数学はいつまでたっても伸びません。

一方で理解だけしていても受験数学では戦えません。たとえば公式を使うたびにいちいち導出していたら、時間がかかって仕方がありません。受験数学は限られた時間で答えを出すシビアな現場です。基本的な常識を暗記しておくことは絶対に必要です。

つまり暗記と理解は「どちらか」ではなく「どちらも」必要で、問われているのはどの段階でどちらに比重を置くかです。それを順番として整理したのが次に紹介する3段階です。

受験数学は3段階で進める

第1段階　暗記基本的な定義と典型問題の解き方を覚える

↓

第2段階　理解覚えた定義と解き方の理解を深める（論理を学ぶ）

↓

第3段階　暗記入試レベルの典型問題を身につける

ポイントは、暗記が最初と最後の2回出てくることです。第1段階で覚えるのは教科書から入試の基礎までの型で、第3段階で覚えるのは入試レベルの型です。その間に理解の段階を挟むことで、第3段階で覚えた型が初見の問題でも使える武器になります。

第1段階：基本的な定義と典型問題の解き方を覚える

入門問題精講や青チャートなどの網羅系で、定義と典型問題の解き方を覚える段階です。ここは暗記中心で構いません。

ただし思考放棄の丸暗記ではありません。解答を眺めて手順だけを覚えるのではなく、各行で何をしているのかを追いながら覚えます。「この問題ではここで判別式を使う」と覚えるのと「2次方程式が実数解をもつかを調べたいから判別式を使う」と覚えるのとでは、第2段階に進んだときの伸び方がまったく違います。

第2段階：理解を深める

第1段階で覚えた定義と解き方について「なぜそうなるのか」「どんな条件なら使えるのか」を説明できるようにする段階です。ここで論理をしっかり学びます。

使うのは「方程式・図形・関数からとらえる数学の基礎分野別標準問題精講」や「数学の真髄－論理・写像－」です。論理とは何か、なぜ数学が苦手な人ほど必要なのかは数学が伸びない原因は「論理」だったで詳しく書いています。

第3段階：入試レベルの典型問題を身につける

真・解法への道やハイレベル数学の完全攻略などで、入試レベルの典型問題を身につける段階です。ここでは再び暗記が中心になります。難関大の入試問題も、分解すると入試レベルの典型の組み合わせでできているからです。

第2段階を終えていれば、ここで覚える型は「この形ならこの解法」という丸暗記ではなく「この条件だからこの解法が使える」という理由つきの型になります。理由つきで覚えた型は、形が変わった初見の問題にも持ち込めます。それぞれの本は真・解法への道の紹介記事やまるで予備校の授業な数学の参考書3選で紹介しています。

段階を飛ばすと何が起きるか

第1段階か第2段階がまったくできていないのに第3段階を始めようとすると、数学がまるでできないまま本番を迎えることになります。よくあるのは次の2つのパターンです。

第1段階を飛ばした場合

定義や基本の型が入っていないので、入試レベルの解説を読んでも何をしているのかが分かりません。難しい問題集を眺めるだけで時間が過ぎ、基礎問題でも点が取れない状態が続きます。

第2段階を飛ばした場合

入試レベルの型を丸暗記で大量に覚えることになり、覚えた問題は解けるのに少し形が変わると手が止まります。網羅系を何周しても偏差値が上がらない人の多くはこの状態です。

筆者自身が後者でした。4STEPと青チャートで解法を覚えても河合塾の模試で偏差値60前後から抜け出せず、京大理系志望の中では最下位付近でした。変わったのは高2で論理の大切さに気付き、覚えた解法の理由を確かめながら解くようになってからです。本番では京大の合格者平均を大きく超える点数を取れました。

暗記した頭と理解した頭の違い

同じ典型問題でも、第1段階だけの頭と第2段階を終えた頭では見えているものが違います。2次方程式の解の配置で比べてみます。

問題

\(x^2-2ax+a+2=0\) が異なる2つの正の解をもつような \(a\) の範囲を求めよ。

\(f(x)=x^2-2ax+a+2\) とおきます。暗記で覚えた人は「判別式・軸・端点の3条件」を思い出して次のように解きます。

\[ \begin{aligned} &\frac{D}{4}=a^2-a-2>0 \\ &\text{軸}\ x=a>0 \\ &f(0)=a+2>0 \end{aligned} \qquad \therefore\ a>2 \]

答えは合っています。ところが問題が「正の解と負の解を1つずつもつ」に変わると、同じ3条件を当てはめようとして迷い始めます。

理解している人は3条件を覚えているのではなく、下に凸の放物線が \(x\) 軸の正の部分と2回交わるための条件として3つを導いています。だから問題が変われば必要な条件も変わることが分かっています。正の解と負の解を1つずつもつのは、放物線が \(x=0\) で \(x\) 軸より下にあるときなので、条件は1つで済みます。

\[ f(0)=a+2<0 \iff a<-2 \]

暗記した頭は「この形にはこの手順」を持っていて、理解した頭は「なぜその手順で答えになるのか」を持っています。第3段階で入試レベルの型を覚えるときに必要なのは後者です。

今の自分はどの段階か

次のうち当てはまるものが多い段階が、今取り組むべき段階です。

段階	こんな状態なら	使う本
第1段階	教科書の例題レベルでも手が止まる。網羅系をまだ1周できていない	入門問題精講・青チャートなどの網羅系
第2段階	網羅系は回したのに偏差値が上がらない。覚えた問題しか解けない。除外点や十分性の確認で減点される	方程式・図形・関数からとらえる数学の基礎、数学の真髄
第3段階	典型問題の理由を説明できる。でも入試問題で方針が立つまでに時間がかかる	真・解法への道、ハイレベル数学の完全攻略